Edge Detection

Introduction

Edge pixel - 이미지의 Intensity가 급격하게 변화하는 지점에 있는 픽셀
Edge - Edge pixel의 집합

Screenshot 2025-10-03 at 14.56.40

How to detect edges?

1D

1차 미분 (first derivative) 의 크기를 사용하여 edge를 감지

Screenshot 2025-10-03 at 15.06.21

2D

Image gradient를 사용하여 edge를 검출

이미지를 intensity 값을 가진 2차원 함수 $f (x, y)$ 라고 했을 때,

Gradient는 $f (x, y)$ 가 각 지점에서 어느 방향으로 빠르게 변하는지를 나타내는 벡터이다.

밝기 변화가 가장 심한 방향과 그 변화량을 의미한다.

$\nabla f \equiv grad (f) = [g_{x} g_{y}] = [\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}]$

$g_{x}$ = $\frac{\partial f}{\partial x}$ : x축 방향으로의 밝기 변화율 (옆 픽셀 간 밝기 차이)
$g_{y}$ = $\frac{\partial f}{\partial y}$ : y축 방향으로의 밝기 변화율 (위아래 픽셀 간 밝기 차이)

이렇게 구한 Gradient vector 의 크기 (Magnitude) 는 밝기 변화가 얼마나 강한지를 나타낸다.

$M (x, y) = mag (\nabla f) = g_{x}^{2} + g_{y}^{2}$

Gradient Magnitude는 피타고라스 정리를 이용해 계산한다.

Gradient Direction은 밝기가 가장 급격하게 증가하는 방향 으로, 아크탄젠트 함수로 계산한다.

$α (x, y) = tan^{- 1} [\frac{g _{y}}{g _{x}}]$

Gradient Vector의 방향은 Edge Direction과 수직인 관계이다.

Screenshot 2025-10-03 at 15.35.15

Edge Detection 시 노이즈의 영향

이미지에 노이즈가 있으면 edge detection 시 잘못된 결과가 나올 수 있으므로 median filtering이나 average filtering으로 이미지 smoothing하는 과정이 필요

Screenshot 2025-10-03 at 15.41.20

Sobel operator

이미지의 각 픽셇에서 밝기 변화의 정도를 x축, y축의 Gradient를 근사치로 계산한다.

$g_{x} = \frac{\partial f ( x , y )}{\partial x} \approx f (x + 1, y) - f (x, y)$ $g_{y} = \frac{\partial f ( x , y )}{\partial y} \approx f (x, y + 1) - f (x, y)$ 바로 옆 픽셀이나 아래의 픽셀과의 변화를 이용해서 기울기를 구하고,

단순 차분 연산에 가중치를 줘 수평,수직 방향 edge를 검출한다.

Screenshot 2025-10-03 at 16.14.57

$M (x, y) = mag (\nabla f) = g_{x}^{2} + g_{y}^{2} \approx ∣ g_{x} ∣ + ∣ g_{y} ∣$

두 방향의 기울기의 magnitude를 각 픽셀에 대해 피타고라스 정리로 풀기에는 연산 오버헤드가 크기 때문에 두 절댓값을 더하는 식으로 근사치를 구한다

아래는 각각 gradient 연산자만 적용, 5x5 avg 필터링 이후에 적용한 결과이다.

Screenshot 2025-10-03 at 16.19.44

Canny Edge Detector

알고리즘

Gaussian filter를 이용해 이미지의 노이즈를 제거
Gradient Magnitude와 Angle을 계산
- Sobel Edge mask를 사용한다.
nonmaxima suppression 적용
1. $α (x, y)$ 에 가장 가까운 방향 $d_{k}$ 를 찾는다.
2. $M (x, y)$ 가 적어도 이웃한 픽셀 중 적어도 하나보다 작다면, 해당 픽셀 값을 0으로 설정
double tresholding, connectivity analysis
1. $M (x, y) \leq T_{H}$ : edge
2. $M (x, y) < T_{H}$ : non-edge
3. Otherwise : undertermined → connectivity analysis

Line Detection

Hough transform 개념

직선은 $y = a x + b$ 로 정의할 수 있다.

Hough transform은 이 식을 매개변수 $a$ , $b$ 에 관한 식으로 변환한다

b = - a x + y

이러면 $(x, y)$ 가 고정된 값일 때 이 픽셀을 통과하는 모든 가능한 직선의 매개변수 조합을 찾을 수 있다.

Screenshot 2025-10-03 at 19.07.16

근데 카르테시안 좌표계를 사용하면 수직선의 경우 기울기 a 가 무한대 $\infty$ 가 되는 문제가 있음

실제 Hough transform은 $b = - a x + y$ 대신 극 좌표게 ( $pθ$ ) 표현을 사용한다.

x cos θ + y sin θ = p

Screenshot 2025-10-03 at 20.52.56

알고리즘

edge 정보만 포함 된 binary edge 이미지를 얻는다.
$pθ$ 공간 분할
accumulator (누적기) 셀의 개수를 조사해서 픽셀이 많이 모여있는 곳을 찾는다.

Screenshot 2025-10-03 at 21.05.23

Circle detection

Hough Transform은 $g (v, c) = 0$ 같이 매개변수로 정의될 수 있는 모든 도형에 적용 가능하다.

원의 방정식은 $(x - c_{x})^{2} + (x - c_{y})^{2} = r^{2}$ 로 매개변수가 3개이므로 3차원 공간이 된다.

Code

Sobel Edge Detector

void testSobelEdgeDetector() {
  Mat image;
  Mat blur, grad_x, grad_y, abs_grad_x, abs_grad_y, result;
 
  image = imread("lena.png", 0);
  GaussianBlur(image, blur, Size(5, 5), 5, 5, BORDER_DEFAULT);
 
  Sobel(blur, grad_x, CV_16S, 1, 0, 3);
  convertScaleAbs(grad_x, abs_grad_x);
 
  Sobel(blur, grad_y, CV_16S, 0, 1, 3);
  convertScaleAbs(grad_y, abs_grad_y);
 
  addWeighted(abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, result);
 
  imshow("X", abs_grad_x);
  imshow("Y", abs_grad_y);
  imshow("Input image", image);
  imshow("Sobel Edge Detector", result);
 
  waitKey(0);
}

GaussianBlur

void GaussianBlur(
	InputArray src, 
	OutputArray dst, 
	Size ksize, 
	double sigmaX, 
	double sigmaY = 0, 
	int borderType = BORDER_DEFAULT
);

ksize: 가우시안 커널의 크기 Size(width, height)으로 지정
sigmaX: X축 방향 가우시안 표준편차
sigmaY: Y축 방향 가우시안 표준편차

Sobel

void Sobel(
	InputArray src, 
	OutputArray dst, 
	int ddepth, 
	int dx, 
	int dy, 
	int ksize = 3, 
	double scale = 1, 
	double delta = 0, 
	int borderType = BORDER_DEFAULT
);

ddepth: 출력이미지의 데이터 타입
- 미분 결과가 음수 값을 가질 수 있기 때문에 CV_8U는 정보가 손실됨 → CV_16S 사용
dx: X축 방향 미분 차수
dy: Y축 방향 미분 차수
ksize: 소벨 커널 크기 → 1, 3, 5, 7 중 하나

Canny Edge Operator

void testCannyEdgeOperator() {
  Mat image, canny;
 
  image = imread( "lena.png", 0);
 
  Canny(image, canny, 190, 200, 3);
 
  imshow("input", image);
  imshow("canny", canny);
 
  waitKey(0);
}

Canny

void Canny(
	InputArray image, 
	OutputArray edges, 
	double threshold1, 
	double threshold2, 
	int apertureSize = 3, 
	bool L2gradient = false
);

treshold1: 하위 임계값
- 이 값보다 gradient 크기가 낮으면 엣지 아닌 것으로 간주
treshold2: 상위 임계값
- 이 값보다 크면 무조건 엣지로 채택 (강한 엣지)
- thresold1과 2 사이의 값은 강한 엣지와 연결돼있을 때만 엣지로 채택
opertureSize: 내부적으로 gradient 계산 시 사용하는 소벨 커널 크기
L2gradient: gradient 크기 계산하는 방식 선택하는 플래그
- false: $L 1 = ∣ g_{x} ∣ + ∣ g_{y} ∣$
- true: $L 2 = g_{x}^{2} + g_{y}^{2}$

HoughLines

void testHoughLines() {
  Mat image, edge, result;
  float rho, theta, a, b, x0, y0;
  Point p1, p2;
  vector<Vec2f> lines;
  image = imread("chess_pattern.png");
  result = image.clone();
 
  cvtColor(image, image, COLOR_BGR2GRAY);
  Canny(image, edge, 50, 200, 3);
 
  HoughLines(edge, lines, 1, CV_PI / 180, 150, 0, CV_PI);
 
  for (int i = 0; i < lines.size(); i++) {
    rho = lines[i][0];
    theta = lines[i][1];
    a = cos(theta);
    b = sin(theta);
 
    x0 = a * rho;
    y0 = b * rho;
 
    p1 = Point(cvRound(x0 + 1000 * (-b)), cvRound(y0 + 1000 * a));
    p2 = Point(cvRound(x0 - 1000 * (-b)), cvRound(y0 - 1000 * a));
 
    line(result, p1, p2, Scalar(0, 0, 255), 3, 8);
  }
 
  imshow("input image", image);
  imshow("edge", edge);
  imshow("Hough Transform", result);
 
  waitKey(0);
}

HoughLines

void HoughLines(
	InputArray image, 
	OutputArray lines, 
	double rho, 
	double theta, 
	int threshold, 
	double srn = 0, 
	double stn = 0, 
	double min_theta = 0, 
	double max_theta = CV_PI
);

lines: 검출된 직선 정보를 저장할 벡터 vector<Vec2f>
rho: $ρ$ (거리) 값의 해상도
theta: $θ$ (각도) 값의 해상도 (라디안) CV_PI / 180 ⇒ 각도를 1도의 정밀도로 측정
threshold: 임계값
- 허프 변환 투표 과정에서 직선으로 인정받기 위해 받아야 할 최소 득표 수
srn, srt: 멀티 스케일 허프 변환에 사용되는 파라미터. 기본 허프변환은 0
min_theta, max_theta: 검출할 직선의 최소 및 최대 각도 범위 0 ~ CV_PI

HoughLinesP

void testHoughLinesP() {
  Mat image, edge, result;
  vector<Vec4i> lines;
 
  image = imread("chess_pattern.png");
  result = image.clone();
  cvtColor(image, image, COLOR_BGR2GRAY);
  Canny(image, edge, 50, 200, 3);
 
  HoughLinesP(edge, lines, 1, CV_PI / 180, 50, 10, 300);
 
  for (int i = 0; i < lines.size(); i++) {
    Vec4i l = lines[i];
    line(result, Point(l[0], l[1]), Point(l[2], l[3]), Scalar(0, 0, 255), 3, 8);
  }
 
  imshow("input image", image);
  imshow("edge", edge);
  imshow("Hough Transform", result);
 
  waitKey(0);
}

HoughLinesP

void HoughLinesP(
	InputArray image, 
	OutputArray lines, 
	double rho, 
	double theta, 
	int threshold, 
	double minLineLength = 0, 
	double maxLineGap = 0
);

lines: 검출된 선분 정보를 저장할 벡터 vector<Vec4i>→ 선분의 시작점과 끝점 좌표
minLineLength: 검출할 선분의 최소 길이
maxLineGap: 하나의 직선으로 간주할 점들 사이의 최대 허용 간격

HoughLines vs. HoughLinesP

Result

HoughLines() 는 vector<Vec2f>, (rho, theta)를 반환
- 무한한 직선의 정보
HoughLinesP() 는 vector<Vec4i>, (x1,y1), (x2,y2)를 반환
- 시작점과 끝점의 좌표

Default parameters

HoughLines(): 전체적인 직선의 속성과 관련된 파라미터 (ex: 탐색할 직선의 최소/최대 각도)
HoughLinesP(): 검출된 선분 자체의 속성과 관련된 파라미터 (ex: 최소 선분의 길이나 최대 허용 간격)

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탐색기

[CV] Edge Detection과 Line Detection

Edge Detection

Introduction

How to detect edges?

1D

2D

Edge Detection 시 노이즈의 영향

Sobel operator

Canny Edge Detector

알고리즘

Line Detection

Hough transform 개념

알고리즘

Circle detection

Code

Sobel Edge Detector

GaussianBlur

Sobel

Canny Edge Operator

Canny

HoughLines

HoughLines

HoughLinesP

HoughLinesP

HoughLines vs. HoughLinesP

Result

Default parameters

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